Le régime sinusoïdal et sa représentation complexe

C’est en régime sinusoïdal que transformateurs, machines tournantes, etc., ont un fonctionnement optimum. C’est également en régime sinusoïdal qu’on peut transporter l’énergie électrique sous très haute tension grâce à l’utilisation des transformateurs. Ce régime correspond à la plus grande partie des configurations rencontrées dans le domaine de l’énergie électrique et donc de l’électrotechnique. Il est impératif d’en maîtriser parfaitement les notions et les méthodes d’approche qui sont incontournables pour aborder les chapitres suivants.
➤ Nature des grandeurs alternatives sinusoïdales
On résume autour de la figure 1.7 les caractéristiques d’une grandeur sinusoïdale :

➤ Nécessité d’une notation particulière des grandeurs sinusoïdales
En régime sinusoïdal, les relations de maille exprimées à l’aide des relations entourant la figure 1.4 deviennent des équations différentielles dont la résolution se complique de façon prohibitive dans les circuits comportant plus d’un ou deux récepteurs. Pourtant le régime sinusoïdal est le plus utilisé dans le domaine de l’énergie électrique. Il est donc impératif de mettre en oeuvre une notation et une méthodologie particulières portant sur les grandeurs sinusoïdales. Cette notation est la « notation complexe » (ou vectorielle) des grandeurs sinusoïdales.

➤ Rappels élémentaires sur les nombres complexes Soit , l’espace en deux dimensions des nombres complexes. On peut alors écrire : avec i le nombre complexe unité tel que . On préfère, en électricité, et pour ne pas confondre i avec un courant, écrire en notant j le nombre complexe unité. On représente les nombres complexes dans un plan appelé « plan complexe » représenté sur la figure 1.8 :

➤ Spécificité de l’électrotechnique
En électrotechnique, les récepteurs électriques sont pratiquement toujours connectés aux bornes d’une même source fournissant une tension sinusoïdale u qu’on caractérisa par sa valeur efficace U. En considérant la tension u(t), comme tension d’alimentation d’un système de charges, on considérera souvent cette tension comme étant à l’origine des phases. On écrit ainsi de façon classique une tension sinusoïdale de référence sous la forme :

Par ailleurs, la grande majorité des récepteurs électriques sous tension sinusoïdale sont des récepteurs à tendance inductive. Ainsi, dans la plupart des cas, le courant i(t) traversant un dipôle est en retard par rapport à la tension u(t). On écrira alors par convention les courants sous la forme :

Cette écriture (avec le signe moins dans le sinus) est une convention d’écriture propre à l’électrotechnique mais est rarement utilisée en électronique ou automatique.
On représente l’exemple d’un dipôle quelconque adoptant ces notations sur la figure 1.9.
➤ Notation complexe des tensions et des courants sinusoïdaux
Pour représenter une grandeur sinusoïdale il suffit, à fréquence constante, de connaître sa valeur efficace et sa phase. En électrotechnique, l’écriture sous forme complexe des courants et des tensions permet de ne les caractériser que par ces deux grandeurs et non plus en fonction du temps.
On fera, de façon universelle, l’équivalence formulée autour de la figure 1.9 établie par convention pour un récepteur inductif :
Les nombres complexes et sont les « phaseurs » (ou amplitudes complexes) de la tension u et du courant i. Ce sont des grandeurs complexes fixes dans le plan complexe qui n’apportent que les valeurs efficaces et les déphasages respectifs comme informations. Travailler sur ces nombres complexes revient à travailler sur les grandeurs caractéristiques des grandeurs temporelles, à la différence que les relations de maille et les lois des noeuds deviennent des relations linéaires (et non plus des équations différentielles).

➤ Application de la notation complexe aux dipôles linéaires communs : notions d’impédance
On représente autour de la figure 1.10 l’application de la notation complexe aux dipôles linéaires rencontrés en électrotechnique :

Remarques importantes : La notion d’impédance est très importante puisqu’elle reflète une proportionnalité entre les courants et les tensions et non plus une relation différentielle. On retiendra :
➤ Impédance complexe d’un dipôle : , Impédance d’un dipôle :
en Ohms (Ω).
➤ Admittance d’un dipôle : et en Siemens (S).
➤ Les impédances complexes sont des nombres complexes. Classiquement, si , R représente la résistance série de l’impédance et X sa réactance série.
➤ De même : si , R représente la résistance parallèle de l’impédance et X sa réactance parallèle.
➤ Les impédances complexes bénéficient des règles d’associations classiques des résistances. On retiendra les associations mises en évidence sur la figure 1.11.

➤ Dipôles inductifs et capacitifs
À partir de ces associations on distinguera classiquement les dipôles à réactance et déphasage positif et ceux à réactance et déphasage négatifs, respectivement appelés inductifs et capacitifs. Ces dipôles sont représentés sur la figure 1.12.

➤ Méthodologie propre aux circuits en alternatif sinusoïdal Lors de l’étude d’un circuit en régime sinusoïdal, on considérera toutes les grandeurs
du circuit en notation complexe. Autant les tensions et courants que les impédances. On travaillera ensuite sur ces grandeurs avec les mêmes méthodes qu’en continu. La détermination des grandeurs inconnues consistera toujours dans la détermination de sa notation complexe, ce qui en général est facile. Pour revenir ensuite aux formes temporelles ou aux grandeurs caractéristiques, il suffira de calculer le module et l’argument de la grandeur pour en déduire sa valeur efficace et sa phase à l’origine.